Marketing & Vertrieb · PT2 · 30 Punkte

Formeltrainer

Regression · PAF · Erfahrungskurve — alle drei Aufgabentypen durchrechnen. Felder rot = falscher Wert, Tooltip zeigt Lösung.

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Teil A Lineare Regression — 12 Punkte

Gegeben: $x = [2,\;4,\;6,\;8,\;10]$, $y = [5,\;7,\;8,\;10,\;11]$. Berechne $b$, $a$ und $\hat{y}(12)$.

Steigung: $\displaystyle b = \frac{n \cdot \sum x_i y_i \;-\; \sum x_i \cdot \sum y_i}{n \cdot \sum x_i^2 \;-\; \left(\sum x_i\right)^2}$

Achsenabschnitt: $a = \bar{y} - b\,\bar{x}$ · Prognose: $\hat{y}(x) = a + b \cdot x$

Tipp: Erst Tabelle ausfüllen, dann Summen bilden, dann $b$ ausrechnen.

Schritt 1 — Tabelle ausfüllen

$x_i$	$y_i$	$x_i \cdot y_i$	$x_i^2$
2	5
4	7
6	8
8	10
10	11
$\sum x=$	$\sum y=$	$\sum xy=$	$\sum x^2=$

Schritt 2 — Steigung $b$ und Achsenabschnitt $a$

$$b = \frac{n \cdot \sum x_i y_i - \sum x_i \cdot \sum y_i}{n \cdot \sum x_i^2 - \left(\sum x_i\right)^2} = \frac{5 \cdot \sum xy - \sum x \cdot \sum y}{5 \cdot \sum x^2 - \left(\sum x\right)^2}$$

Zähler: 5 × ∑xy − ∑x × ∑y = 5 × 276 − 30 × 41 = − = 150 Nenner: 5 × ∑x² − (∑x)² = 5 × 220 − 30² = − = 200 b = 150 / 200 = x̄ = ∑x/n = 30/5 = 6 ȳ = ∑y/n = 41/5 = 8,2 a = ȳ − b·x̄ = 8,2 − 0,75·6 =

Schritt 3 — Prognose $\hat{y}(12)$

$$\hat{y}(12) = a + b \cdot 12$$

ŷ(12) = + × 12 ŷ(12) =

Teil B Preis-Absatz-Funktion — 12 Punkte

Gegeben: $x(p) = 80 - 4p$, variable Stückkosten $k = 5\,€$. Ablesen: $a = 80$, $b = 4$.

Sättigungsmenge: $x(0) = a$ · Prohibitivpreis: $\displaystyle p_{\max} = \frac{a}{b}$

Elastizität: $\displaystyle \varepsilon = \frac{-b \cdot p}{a - b \cdot p}$ · Cournot: $\displaystyle p^* = \frac{a + k \cdot b}{2b}$

Sättigungsmenge

$x(0) = a$

$x(0) =$

Prohibitivpreis

$\displaystyle p_{\max} = \frac{a}{b}$

$p_{\max} =$ €

Elastizität bei $p = 10$

$\displaystyle \varepsilon = \frac{-b \cdot p}{a - b \cdot p}$

$\varepsilon(p{=}10) =$

Cournot-Preis

$\displaystyle p^* = \frac{a + k \cdot b}{2b}$

$p^* =$ €

$$\varepsilon = \frac{-b \cdot p}{a - b \cdot p} \qquad\qquad p^* = \frac{a + k \cdot b}{2b}$$

x(p) = 80 − 4p → a = 80, b = 4, k = 5 Sättigung: x(0) = a = Prohibitiv: p_max = a/b = 80/4 = € Elastizität: ϵ = −4·10 / (80−40) = −40/40 = Cournot: p* = (80 + 5·4)/(2·4) = 100/8 = €

Teil C Erfahrungskurve — 6 Punkte

Gegeben: Lernrate $\alpha = 0{,}25$, Anfangskosten $a = 100\,€$. Gesucht: $k_4$.

Degressionsexponent: $\displaystyle b = \frac{\ln(1-\alpha)}{\ln 2}$ · Stückkosten: $k_x = a \cdot x^b$

Kontrolle: Bei Verdopplung sinken Kosten um $\alpha$ → $k_2 = 100 \cdot 0{,}75 = 75$ → $k_4 = 75 \cdot 0{,}75 = \mathbf{56{,}25}$

$$b = \frac{\ln(1-\alpha)}{\ln 2} \qquad\qquad k_x = a \cdot x^{\,b}$$

α = 0,25 → (1−α) = 0,75 Schritt 1: ln(0,75) = ln(2) = Schritt 2: b = ln(0,75) / ln(2) = Schritt 3: k₄ = 100 · 4^b = €

Tipp — Taschenrechner: 100 × 4 ^ (−0,415) = 56,25 ✓

Alle drei Teile ausfüllen, dann hier auswerten.